NAT矢量像差理论的起源与基础

现在被称为节点像差理论的理论，起源于Kevin Thompson（为哈勃首次维修任务设计修正透镜） 和他的导师Rolland Shack(Shack-Hartmann 传感器、Shack-cube干涉仪，大佬，顶级大佬)的工作。早先，Dick Buchroeder 写了一篇关于倾斜组件光学系统的论文，该论文引入了偏心像差场的概念。Thompson进行了具体而系统的研究。

假设一个光学系统可以被分解为一个个旋转对称的子系统，那么根据旋转对称的像差理论，可以完全了解各个分系统的像差情况。困难不在于各个子系统的像差，而是理解不同子系统的像差贡献如何组合以产生整体的像差模式。这个相互偏心的元件之间的像差如何相互作用的问题，是节点像差理论的核心。

对于球面透镜而言，即使它具有偏心与倾斜，它也是关于自身光轴旋转对称的；旋转对称的非球面也同样如此。最初的节点像差理论无法处理自由曲面，后来经过Fuerschbach,Rolland,Thompson扩展了节点像差理论，使其能够用于自由曲面。

这组方程虽然给出了系统的总波前像差（四阶），然而，它对系统的像差描述没有太深的洞察力。

更具备洞察力的方法是，求解等式中各类像差的和，以找到场中各种像差会消失的位置，即像差的“节点”；这就是Kiven Thompson 的论文主题。 下面将分别讨论与视场有关的各个像差节节点的特性。由于球差不依赖于像场以及元件的偏心，因此它不受元件偏心的影响。

（4）式与矢量形式的像差函数展开式中的慧差项形式是相似的，除了里边的像场坐标多了\vec{a}{131},因此，包含倾斜失调量的光学系统，其慧差的形式与理想系统是一致的，只是零慧差点（节点）的位置改变了。慧差的其他特性（与节点距离的线性相关性、慧差形状围绕节点的分布）保持不变。事实上，理想情况是这一表达式描述下的某种特殊情况。

值得注意的是，如果彗差系数之和(W_{131}）为零，就像里奇-克雷蒂恩望远镜中的情况一样，那么\vec{a}_{131}将会变为无穷大(看它的计算表达式)，等式（4）包含“零乘以无穷大”的情况。

在这种情况下，可以对等式（3）进行稍微不同的分析，以避免出现这种问题。毫不奇怪，通过将极限设为W_{131}接近零。在任何一种情况下，都会发现产生的彗差节点位于无限远的地方，并且所有彗差图像点的大小相等且彼此平行，都指向无限远处的节点。彗差光斑的大小是有限的。这完美地描述了里奇·克雷蒂恩望远镜错位带来的奇奇怪怪的慧差形式。因此，节点理论提供了一种方法，它准确地描述了一种现实的情况。

这个看起来就和理想情况下的慧差项没什么相似性了，为了处理这一点，Shark 和Tompson 用了些数学小技巧，即二维平面上的位置(x,y)可以表示为复平面上的(x+iy)或r\cdot e^{i \alpha}，暂时将计算切换到复平面（在定义矢量形式的像差函数展开式时，采用的计算法则是复数的计算法则）。

复数的平方是：振幅平方，相位角加倍。复数的平方根：振幅开根号，相位角减半。Shark 和 Tompson需要这两个操作来求解像散的节点像差方程。当然，这只是数学上取巧，最终还是需要回归矢量运算，因为要用点积的形式去表示波像差。

他们当时的想法是：以类似复数计算的方式，定义一种新的向量运算方式，即“vector multiplication”。他们当时不知道，这种“类矢量”运算，在数学上是长期存在的，最初称为Cliffod Algebra(克里夫德代数)，最近被称为几何代数。

等式中包含了两个非常不一样的求和项，第一项与\rho有关，但没有方向依赖性。因此认为该项是一个散焦项，它的大小随着离场中心的距离平方改变，这实际上是场曲项，而不是像散项了。由此，第一个求和项代表了由像散引起的场曲。这一结论在旋转对称光学系统中也很广泛。

第二个求和项是两个向量的点积，每个向量本身就是自己的平方，矢量平方的点积带来了cos(2\phi)项，代表了像散项。现在撇开场曲项，只关注像散项：

这个平方向量可以看作是\vec{\sigma}^{2}项的加权平均值减去归一化加权像差系数。利用上述这些定义好量去替换第二项求和式中的元素，可以得到：

由此，可以知道在旋转对称光学系统中，通常存在两个像散节点。当系统倾斜时，节点的位置由式（11）计算。下图现显示了一个实际系统的像散线图。这幅图来源于一个里奇-克雷蒂恩望远镜。

从推导出的式子可以看出，场中任意点像散大小由场点到两个节点位置的乘积给出。当两个节点退化为一个位于场中心的特殊情况下，像散大小与离场中心距离的平方有关。

在处理后续几个像差之前，先看看计算前边的慧差与像散得到的结论。双峰像散图案（有两个像散节点的图案）代表场中像散消失的两个点，而不是节点具体所在的位置。这两个是不同的概念。节点处像散不为零，两个节点的影响下，会有其他两个点表现为像散为零。

虽然散光一般有两个节点，但会出现一些特殊情况，当W_{222}趋向于零时（即未倾斜系统散光被校正的很好），\vec{a}{222}变得趋近于无穷大，而它与W{222}相乘的结果确实趋近于零。另一种数学处理的方式表明，在这种情况下，一个像差节点趋近于无穷大，另一个像差节点在原点处。围绕在该场中的像散是随离节点距离线性增加的，且像散图案方向在场中不是对称的。

这类情况在实际光学系统中很常见，比如TMA（three mirror anastigmat）.一般来说，遇到这种情况说明系统表面没调整好位置，而不是像散很大。在光学系统的优化过程中，优化算法会将一个节点锁定在场中心，然而这通常是局部极值，并非最优解。

尽管双节点像散的存在与性质是节点像差理论最为著名也是最重要的结果之一，我们仍需认识到，在系统中像散并不总以这种方式出现，因为还有高阶像散的存在。同样的，慧差也可能表现出更复杂的高阶慧差形式。这并不一定表明节点像差理论本身的不完备性，大多数情况下，理论不灵，是高阶像差在捣鬼。

上述内容研究了四阶慧差、像散的表现情况。一般来说，每个像差由于场依赖特性，在场中具有一个节点是正确的，但这并不绝对。事实上，旋转对称光学系统除了四阶慧差外，还有一定量的场立方像差，即六阶慧差。它的描述与四阶慧差差不多，但其有三个像差节点。然而，在利用zernike多项式拟合波前时，所绘制出的系统慧差往往是四阶、六阶慧差混在一起了，因为它们在光瞳中形状一致并且没办法分开。要是实际分析中慧差很复杂，也不要感到惊讶。

在研究慧差时，说到有个求和项是对场曲有贡献，另一个有影响的是像差展开式（式子（2））中的第四项。系统的总场曲就由这两个给出。类似于旋转对称系统中场曲，由Petzval场曲以及散光引起的场曲综合而来。

由于文章目的是解开节点像差理论的神秘面纱，这里就不再仔细说场曲的数学推导了，直接上结论！简单来说，当元件存在错位时，系统场曲有两种改变趋势：场曲的中心在像场中横向移动，并且存在最佳聚焦表面的纵向偏移。这两种影响都是存在倾斜元件系统的一阶特性（所谓的Scheimpflug条件）导致的任何可能的图像面倾斜之外的结果。

值得注意的是，二次场曲率的横向偏移可以被认为是场中心的纵向偏移，加上场中心图像的倾斜，再加上二次（“普通”）场曲率项。由于我们已经存在图像倾斜的可能性（根据Scheimpflug条件），相互错位的主要影响是修改图像倾斜，并修改最佳焦点的纵向位置，保持图像的整体曲率不变。此外，值得注意的是，如果要校正系统的像散，则像散对场曲率的贡献将消失，只留下佩兹瓦尔贡献。

因此，从光学设计师的角度来看，通常足以确保系统的Petzval场曲足够低，而不需要太多的向量和。检测器平面通常可以倾斜并纵向移动以位于最佳聚焦的所得平面中

数学上，以与所述的散光和彗差相同的方式进行推导，从等式3的第五和开始，Thompson导出了四阶失真的节点位置。描述了当不同子系统的四阶贡献不相互对齐时，畸变的模式。毫不奇怪，有三个节点——它们沿着场中的一条线均匀分布——失真的大小由到三个节点的三个距离给出。此外，有一个单一（通常是单独的）一阶节点，即场中的一个点，当图像围绕该点展开或收缩时，该点保持静止。如上所述，这些影响是系统组件之间的错位的结果，每个系统组件单独造成四阶失真。重要的是，这些影响不包括主平面与物体不平行的系统组件对平面物体成像产生的同态和梯形失真的影响。Thompson和Rogers都描述了这些影响，试图使用便于预期上下文的来呈现材料；然而，Scheimpflug早就描述了同样的效果。

在大多数涉及大倾斜和偏心的情况下（例如，在无遮蔽的反射光学系统中），畸变项和梯形项主导场行为，三个共线畸变节点的影响通常在整个畸变模式中不明显。

尽管在本文中我们只描述了四阶节点的行为，但Thompson已经发展了六阶节点的特性。Fuerschbach提出了一个更为基本的扩展，他将理论扩展到包括非独立旋转对称的子系统的影响。该方法类似于C.R.Burch的“板理论”，涉及检查光线扫过非球面板时增加的像差，该非球面板通常远离孔径光阑且大于任何单个场点的光束。在Burch最初的处理中，非球面板被认为是旋转对称的，但Fuerschbach的方法取消了这种简化。结果是，例如，当将具有“三叶”表面的非球面板添加到远离孔径光阑的位置时，获得预期的场行为。

节点像差理论来源于各种相互错位的系统部件的像差贡献的矢量和。矢量和简单明了。求解方程以找到节点位置对于彗形像和场曲率来说很简单，但需要使用Clifford或“几何”代数来计算像散和畸变。尽管克利福德代数的数学对许多读者来说可能是陌生的，但在此背景下使用的基本方法是将向量位置暂时视为复平面中的点，以便可以使用平方和平方根运算。一旦这个数学“技巧”被接受，节点位置的分析就变得简单明了。

节点理论预测了双节点像散的存在，解释了错位望远镜的行为，提供了对无遮挡反射系统的极限像差的理解，并提供了应添加哪些表面类型以提高性能的见解。它也为设计倾斜和偏心以及自由形式的光学系统奠定了基础。